高二数学正弦定理测试题

高二数学正弦定理测试题

1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则(  )

A.B=45°或135°        B.B=135°

C.B=45°   D.以上答案都不对

解析:选C.sin B=22,∵a>b,∴B=45°.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于(  )

A.6   B.2

C.3   D.2

解析:选D.由正弦定理6sin 120°=2sin C⇒sin C=12,

于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=2.

3.在△ABC中,若tan A=13,C=150°,BC=1,则AB=__________.

解析:在△ABC中,若tan A=13,C=150°,

∴A为锐角,sin A=110,BC=1,

则根据正弦定理知AB=BC·sin Csin A=102.

答案:102

4.已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,交对边BC于D,求证:BDDC=ABAC.

证明:如图所示,设∠ADB=θ,

则∠ADC=π-θ.

在△ABD中,由正弦定理得:

BDsin A2=ABsin θ,即BDAB=sinA2sin θ;①

在△ACD中,CDsin A2=ACsinπ-θ,

∴CDAC=sinA2sin θ.②

由①②得BDAB=CDAC,

∴BDDC=ABAC.

一、选择题

1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,则sin A∶sin B的值是(  )

A.53   B.35

C.37   D.57

解析:选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53.

2.在△ABC中,若sin Aa=cos Cc,则C的值为(  )

A.30°   B.45°

C.60°   D.90°

解析:选B.∵sin Aa=cos Cc,∴sin Acos C=ac,

又由正弦定理ac=sin Asin C.

∴cos C=sin C,即C=45°,故选B.

3.(2010年高考湖北卷)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=(  )

A.-223   B.223

C.-63   D.63

解析:选D.由正弦定理得15sin 60°=10sin B,

∴sin B=10·sin 60°15=10×3215=33.

∵a>b,A=60°,∴B为锐角.

∴cos B=1-sin2B=1-332=63.

4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(  )

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等腰三角形

解析:选B.由题意有asin A=b=bsin B,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.

5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=π3,a=3,b=1,则c=(  )

A.1   B.2

C.3-1   D.3

解析:选B.由正弦定理asin A=bsin B,可得3sinπ3=1sin B,

∴sin B=12,故B=30°或150°.

由a>b,得A>B,∴B=30°.

故C=90°,由勾股定理得c=2.

6.(2011年天津质检)在△ABC中,如果A=60°,c=4,a=4,则此三角形有(  )

A.两解  B.一解

C.无解  D.无穷多解

解析:选B.因csin A=23<4,且a=c,故有唯一解.

二、填空题

7.在△ABC中,已知BC=5,sin C=2sin A,则AB=________.

解析:AB=sin Csin ABC=2BC=25.

答案:25

8.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=________.

解析:A=180°-30°-120°=30°,

由正弦定理得:

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.

答案:1∶1∶3

9.(2010年高考北京卷)在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=2π3,则a=________.

解析:由正弦定理,有3sin2π3=1sin B,

∴sin B=12.∵∠C为钝角,

∴∠B必为锐角,∴∠B=π6,

∴∠A=π6.

∴a=b=1.

答案:1

三、解答题

10.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,且a+b+c=30,求a.

解:∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c,

∴a∶b∶c=4∶5∶6.∴a=30×415=8.

11.在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c.已知a=5,b=2,B=120°,解此三角形.

解:法一:根据正弦定理asin A=bsin B,得sin A=asin Bb=5×322=534>1.所以A不存在,即此三角形无解.

法二:因为a=5,b=2,B=120°,所以A>B=120°.所以A+B>240°,这与A+B+C=180°矛盾.所以此三角形无解.

法三:因为a=5,b=2,B=120°,所以asin B=5sin 120°=532,所以b<asin B.又因为若三角形存在,则bsin A=asin B,得b>asin B,所以此三角形无解.

12.在△ABC中,acos(π2-A)=bcos(π2-B),判断△ABC的形状.

解:法一:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B),

∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a·a2R=b·b2R,

∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.

法二:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B),

∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:

2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,

∴A=B.(A+B=π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形.

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