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余弦定理训练题

1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是(  )

A.8          B.217

C.62   D.219

解析:选D.根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=219.

2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则sin A的值为(  )

A.5719   B.217

C.338   D.-5719

解析:选A.c2=a2+b2-2abcos C

=22+32-2×2×3×cos 120°=19.

∴c=19.

由asin A=csin C得sin A=5719.

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为__________.

解析:设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长为2a,故顶角的余弦值为4a2+4a2-a22·2a·2a=78.

答案:78

4.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.

解:法一:根据余弦定理得

b2=a2+c2-2accos B.

∵B=60°,2b=a+c,

∴(a+c2)2=a2+c2-2accos 60°,

整理得(a-c)2=0,∴a=c.

∴△ABC是正三角形.

法二:根据正弦定理,

2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.

又∵B=60°,∴A+C=120°,

∴C=120°-A,

∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A),

整理得sin(A+30°)=1,

∴A=60°,C=60°.

∴△ABC是正三角形.

课时训练

一、选择题

1.在△ABC中,符合余弦定理的是(  )

A.c2=a2+b2-2abcos C

B.c2=a2-b2-2bccos A

C.b2=a2-c2-2bccos A

D.cos C=a2+b2+c22ab

解析:选A.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.

2.(2011年合肥检测)在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是(  )

A.1213         B.513

C.0   D.23

解析:选C.∵c>b>a,∴c所对的角C为最大角,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.

3.已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是(  )

A.锐角三角形   B.钝角三角形

C.直角三角形   D.不能确定

解析:选B.∵42=16>22+32=13,∴边长为4的边所对的角是钝角,∴△ABC是钝角三角形.

4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为(  )

A.π3   B.π6

C.2π3   D.π3或2π3

解析:选C.由已知得b2+c2-a2=-bc,

∴cos A=b2+c2-a22bc=-12,

又∵0<A<π,∴A=2π3,故选C.

5.在△ABC中,下列关系式

①asin B=bsin A

②a=bcos C+ccos B

③a2+b2-c2=2abcos C

④b=csin A+asin C

一定成立的有(  )

A.1个   B.2个

C.3个   D.4个

解析:选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,则不一定成立.

6.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于(  )

A.14   B.34

C.24   D.23

解析:选B.∵b2=ac,c=2a,

∴b2=2a2,

∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a·2a

=34.

二、填空题

7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.

解析:由余弦定理,

得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,

即49=25+AC2-2×5×AC×(-12),

AC2+5AC-24=0.

∴AC=3或AC=-8(舍去).

答案:3

8.已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.

解析:解方程可得该夹角的余弦值为12,由余弦定理得:42+52-2×4×5×12=21,∴第三边长是21.

答案:21

9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则B的大小是________.

解析:由正弦定理,

得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.

不妨设a=5k,b=7k,c=8k,

则cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12,

∴B=π3.

答案:π3

三、解答题

10.已知在△ABC中,cos A=35,a=4,b=3,求角C.

解:A为b,c的夹角,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,

∴16=9+c2-6×35c,

整理得5c2-18c-35=0.

解得c=5或c=-75(舍).

由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0,

∵0°<C<180°,∴C=90°.

11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,求C的大小.

解:由题意可知,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,

即a2+b2-c22ab=12,

所以cos C=12,所以C=60°.

12.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状.

解:由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac,代入c=acos B,

得c=a·a2+c2-b22ac,∴c2+b2=a2,

∴△ABC是以A为直角的直角三角形.

又∵b=asin C,∴b=a·ca,∴b=c,

∴△ABC也是等腰三角形.

综上所述,△ABC是等腰直角三角形.

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