基本不等式训练题

基本不等式训练题

1.若xy>0,则对 xy+yx说法正确的是(  )

A.有最大值-2       B.有最小值2

C.无最大值和最小值   D.无法确定

答案:B

2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是(  )

A.400   B.100

C.40   D.20

答案:A

3.已知x≥2,则当x=____时,x+4x有最小值____.

答案:2 4

4.已知f(x)=12x+4x.

(1)当x>0时,求f(x)的最小值;

(2)当x<0 时,求f(x)的最大值.

解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.

∴12x+4x≥212x·4x=83.

当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,

∴当x>0时,f(x)的最小值为83.

(2)∵x<0,∴-x>0.

则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x·-4x=83,

当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.

∴当x<0时,f(x)的最大值为-83.

一、选择题

1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是(  )

A.x+12x   B.x2-1+1x2-1

C.2x+2-x   D.x(1-x)

答案:C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是(  )

A.32-3   B.-3

C.62   D.62-3

解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是(  )

A.200   B.100

C.50   D.20

解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程:

①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2ba·ab=2;

②∵x,y∈(0,+∞),∴lgx+lgy≥2lgx·lgy;

③∵a∈R,a≠0,∴4a+a ≥24a·a=4;

④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导过程为(  )

A.①②   B.②③

C.③④   D.①④

解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;

②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,∴②的推导过程是错误的;

③∵a∈R,不符合基本不等式的条件,

∴4a+a≥24a·a=4是错误的;

④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.

5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(  )

A.2   B.22

C.4   D.5

解析:选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有(  )

A.最大值64   B.最大值164

C.最小值64   D.最小值164

解析:选C.∵x、y均为正数,

∴xy=8x+2y≥28x·2y=8xy,

当且仅当8x=2y时等号成立.

∴xy≥64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

答案:1

8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.

解析:1=x+4y≥2x·4y=4xy,∴xy≤116.

答案:大 116

9.(2010年高考山东卷)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.

解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案:3

三、解答题

10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.

∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

≥2 x+1·4x+1+5=9,

当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.

∴x=1时,函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.

∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1·9x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,

∴y有最小值8.

11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1a-1)·(1b-1)·(1c-1)≥8.

证明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,

∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,

同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.

总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

=800×(x+225x)+12000

≥1600x·225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0),

即x=15时等号成立.

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