简单的线性规划问题检测试题

简单的线性规划问题检测试题

1.目标函数z=4x+y,将其看成直线方程时,z的几何意义是(  )

A.该直线的截距

B.该直线的纵截距

C.该直线的横截距

D.该直线的纵截距的相反数

解析:选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z,则此方程为直线方程的斜截式,所以z为该直线的纵截距.

2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为(  )

A.-1            B.1

C.2   D.-2

答案:B

3.若实数x、y满足x+y-2≥0,x≤4,y≤5,则s=x+y的最大值为________.

解析:可行域如图所示,

作直线y=-x,当平移直线y=-x

至点A处时,s=x+y取得最大值,即smax=4+5=9.

答案:9

4.已知实数x、y满足y≤2xy≥-2x.x≤3

(1)求不等式组表示的平面区域的面积;

(2)若目标函数为z=x-2y,求z的最小值.

解:画出满足不等式组的可行域如图所示:

(1)易求点A、B的坐标为:A(3,6),B(3,-6),

所以三角形OAB的面积为:

S△OAB=12×12×3=18.

(2)目标函数化为:y=12x-z2,画直线y=12x及其平行线,当此直线经过A时,-z2的值最大,z的值最小,易求A 点坐标为(3,6),所以,z的最小值为3-2×6=-9.

一、选择题

1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为(  )

A.(0,1)   B.(-1,-1)

C.(1,0)   D.(12,12)

解析:选C.可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除A,B,D.

2.(2010年高考浙江卷)若实数x,y满足不等式组x+3y-3≥0,2x-y-3≤0,x-y+1≥0,则x+y的最大值为(  )

A.9   B.157

C.1   D.715

解析:选A.画出可行域如图:

令z=x+y,可变为y=-x+z,

作出目标函数线,平移目标函数线,显然过点A时z最大.

由2x-y-3=0,x-y+1=0,得A(4,5),∴zmax=4+5=9.

3.在△ABC中,三顶点分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及其边界上运动,则m=y-x的取值范围为(  )

A.[1,3]   B.[-3,1]

C.[-1,3]   D.[-3,-1]

解析:选C.直线m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23,且k1=1<kAC=4,

∴直线经过C时m最小,为-1,

经过B时m最大,为3.

4.已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域内运动,则z=x-y的取值范围是(  )

A.[-2,-1]   B.[-2,1]

C.[-1,2]   D.[1,2]

解析:选C.先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分,

∵z=x-y,∴y=x-z.

由图知截距-z的范围为[-2,1],∴z的范围为[-1,2].

5.设动点坐标(x,y)满足x-y+1x+y-4≥0,x≥3,y≥1.则x2+y2的最小值为(  )

A.5   B.10

C.172   D.10

解析:选D.画出不等式组所对应的平面区域,由图可知当x=3,y=1时,x2+y2的最小值为10.

6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是(  ) w  w w .x k b 1.c o m

A.12万元   B.20万元

C.25万元   D.27万元

解析:选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.

由题意得

x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18,可行域如图阴影所示.

由图可知当x、y在A点取值时,z取得最大值,此时x=3,y=4,z=5×3+3×4=27(万元).

二、填空题

7.点P(x,y)满足条件0≤x≤10≤y≤1,y-x≥12则P点坐标为________时,z=4-2x+y取最大值________.

解析:可行域如图所示,新课标第一网

当y-2x最大时,z最大,此时直线y-2x=z1,过点A(0,1),(z1)max=1,故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.

答案:(0,1) 5

8.已知点P(x,y)满足条件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k为常数),若x+3y的最大值为8,则k=________.

解析:作出可行域如图所示:

作直线l0∶x+3y=0,平移l0知当l0过点A时,x+3y最大,由于A点坐标为(-k3,-k3).∴-k3-k=8,从而k=-6.

答案:-6

9.(2010年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a,,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:

a b/万吨 c/百万元

A 50% 1 3

B 70% 0.5 6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).

解析:设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y.

由题意可得约束条件为12x+710y≥1.9,x+12y≤2,x≥0,y≥0.

作出可行域如图所示:

由图可知,目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值,zmin=3×1+6×2=15

答案:15

三、解答题

10.设z=2y-2x+4,式中x,y满足条件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1,求z的最大值和最小值.

解:作出不等式组0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如图所示).

令t=2y-2x则z=t+4.

将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.

则其与y=x平行,平移直线l时t的值随直线l的上移而增大,故当直线l经过可行域上的点A时,t最大,z最大;当直线l经过可行域上的点B时,t最小,z最小.

∴zmax=2×2-2×0+4=8,

zmin=2×1-2×1+4=4.

11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R),目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值,求a的取值范围.

解:直线x-ay-1=0过定点(1,0),画出区域2x+y≥0,x≤1,让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0,观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a>0才满足要求,故a>0.

12.某家具厂有方木料90 m3 ,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.

(1)如果只安排生产方桌,可获利润多少?

(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少?

(3)怎样安排生产可使所获利润最大?

解:由题意可画表格如下:

方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)

书桌(个) 0.1 2 80

书橱(个) 0.2 1 120

(1)设只生产书桌x张,可获利润z元,

则0.1x≤902x≤600x∈N*⇒x≤900x≤300x∈N*⇒x≤300,x∈N*.

目标函数为z=80x.

所以当x=300时,zmax=80×300=24000(元),

即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元.

(2)设只生产书橱y个,可获利润z元,则

0.2y≤901·y≤600y∈N*⇒y≤450y≤600y∈N*⇒y≤450,y∈N*.

目标函数为z=120y.

所以当y=450时,zmax=120×450=54000(元),

即如果只安排生产书橱,最多可生产450个书橱,获得利润54000元.

(3)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则

0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0,x∈Ny≥0,x∈N⇒x+2y≤900,2x+y≤600,x≥0,y≥0,且x∈N,y∈N.

目标函数为z= 80x+120y.

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ,即可行域(图略).

作直线l∶80x+120y=0,即直线l∶2x+3y=0(图略).

把直线l向右上方平移,当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时,此时z=80x+120y取得最大值.

由x+2y=9002x+y=600解得交点的坐标为(100,400).

所以当x=100,y=400时,

zmax=80×100+120×400=56000(元).

因此,生产书桌100张,书橱400个,可使所获利润最大.

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