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构做胞腔复形的二元法

给定2个胞腔复形XY,怎样据此构做出1个新的胞腔复形Z

 

AllenHatcher列举了6种方法:productquotientsuspensionjoinwedge sumsmash product

 

XY的交集为空,可以用把X中和Y中的胞腔逐一相乘的方法产生新的胞腔复形Z,这就是product法;也可以用把X伦移到Y中所有元素的方法产生Z,这就是join法;若Y中只有2个(1个)元素,这就是suspension法(cone法)。

 

XY的交集为X(或Y),那么除了上述3个方法,还可以用取YX的商集的方法产生新的胞腔复形Z。这就是quotient法。

 

XY的交集虽不为空,但也不是X(和Y),而是1个单一的元素x0,那么除了交集为空的3种方法,还可以用把XYx0粘合(取商集)的方法产生新的胞腔复形Z。这就是wedge sum法。

 

XY的交集虽不为空,但也不是X(和Y),而且不是1个单一的元素x0,而是1个多元素集合S,那么除了交集为空的3种方法和wedge sum法,还可以用把XY在集合S粘合(取商集)的方法产生新的胞腔复形Z。这就是smash product

 

这些方法看起来眼花缭乱,其实只是在玩2种把戏:复制(乘法)、简并(除法)。

 

以胞腔为单位的复制,就是product:当胞腔是给定胞腔复形的胞腔时,是product;当胞腔是给定胞腔复形的复合胞腔时,是smash product

 

以给定胞腔复形和胞腔复形的元素为单位的复制,就是join,或suspension(或cone)。

 

以胞腔为单位的简并,就是quotient

 

以给定胞腔复形中的1个元素为单位的简并,就是wedge sum;以给定胞腔复形的复合胞腔(多个元素)为单位的简并,就是smash productsmash product虽然被称为“复制”,但其实它是“复制”和“简并”的混血儿。

 

总之,利用给定的2个胞腔复形,构做1个新的胞腔复形,不过是在玩2种把戏:复制(product)、简并(quotient)。

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