基本图形分析法:弦切角问题怎样思考(七)

基本图形分析法:弦切角问题怎样思考(七)

例42 如图4-124,已知:AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于E,PD、PC与⊙O相切于D、C。求证:PE⊥AB。




图4-124

分析:本题要证明PE⊥AB,这是一个两条垂线的判定问题,所以应根据垂线的定义,即它们应相交成90°角,将它们延长到相交,于是延长PE交AB于F(如图4-125),问题也就是要证∠EFA=90°




图4-125

由条件AB是⊙O的直径,所以可应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明。现在图形中是有直径,有半圆上的点D、C,而没有圆周角,所以应将圆周角添上,于是联结AD(或BC),即可得∠ADB=90°(如图4-126),这样要证明∠EFA=90°,就成为应证A、F、E、D四点共圆,也就是四边形AFED应是圆内接四边形。又因为P、E、F成一直线,出现了∠PED是这个圆内接四边形的一个外角,所以问题又可转化为应证∠PED=∠DAB。




图4-126

又因为PD与⊙O相切于D,所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明,由于BD是过切点D的弦,∠PDB是弦切角,所以有∠PDE=∠DAB,于是问题就转化为要证∠PED=∠PDE,也就是应证它的等价性质PD=PE成立。又因为PD、PC分别与⊙O相切于D、C,所以可应用切线长定理得PD=PC。这样问题实质上就成为要证PD=PE=PC,而这个等式一出现,就是要证P是△CDE的外心。由于这个△CDE目前尚未出现,所以应将它先添出来,也就是联结CD。

现在要证P是△CDE的外心,则根据三角形外心的定义,它应在三角形三边的垂直平分线上,而其中的一条中垂线是容易证明的,这是因为这个三角形的一条边CD是联结两个切点的弦,所以由PD、PC分别与⊙O相切于D、C,应用切线长定理及其推论,即有联结OP后(如图4-127),得OP是CD的垂直平分线,于是就可得△CDE的外心必定在OP上。




图4-127

另一方面,因为PD与⊙O相切于D,所以又可以应用切线的性质,也就是联结OD后(如图4-127),可得∠ODP=90°,但在作出了OD以后,由于OD和OB是同圆的两条半径,所以有OD=OB,它们就可以组成一个等腰三角形,应用等腰三角形的基本图形的性质又可得∠ODB=∠B。而现在图形中还出现了圆上的四点,即A、B、C、D四点共圆,从而再应用圆周角的基本图形的性质,又可得∠B=∠ACD,所以∠ODB=∠ACD。而这两个角相等的关系一出现,也就出现了一个弦切角的基本图形,从而就可以应用弦切角性质定理的逆定理,得OD与△DEC的外接圆相切于D。而我们已经证明PD⊥OD,所以PD必定经过△CDE的外接圆的圆心,也就是△CDE的外心也必在PD上,于是可得△DEC的外心必定是OP和DP的交点,也就是P点,从而就可证明PD=PE=PC,分析完成。

例43 如图4-128,已知:PA与⊙O相切于A,割线PBC交⊙O于B、C、D是BC的中点,求证:P、O、D、A四点共圆。




图4-128

分析:本题条件中给出了PA与⊙O相切于A,所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明,也就是联结OA后(如图4-129),可得∠PAO=90°,又因为D是弦BC的中点,所以又可以应用弦的中点的性质,或者也就是直接应用垂径定理,得联结OD后(如图4-129),有∠PDO=90°。于是就得到∠PAO=∠PDO=90°,从而就可以证明P、O、D、A四点共圆。




图4-129

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