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2018中考好题之十堰16题

人教版八上数学中,《最短路径问题》的课题学习归纳了求最短路径的一般方法,即:1.两点的所有连线中,线段最短2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。其中典型例题有著名的将军饮马问题。

湖北十堰中考出题组结合该知识点,出了这样一道数学题:

16.如图,RtABC中,∠BAC=90°,AB=3AC=62,点DE分别是边BCAC上的动点,则DA+DE的最小值为         

假若我们先构造BC上的动点D,根据求最短路径的方法,则只有当DEAC时,DE最短(如图1)。

在保证了DE最短时, AD+DE的值就最小吗?显然,随着点DBC上的位置不同,AD的长度也不一样;在ADBC时, AD最短,能同时满足AD+DE取最小值吗?

对于上述疑问,我们启用几何画板的度量与计算功能,先度量出图1中线段ADDE的长度,再计算出AD+DE的值,然后在找到过点ABC垂直的垂足位置,当点D移动到该垂足处时,观察到AD+DE的值为5.50(如图2)。

但将点D向右移动时,AD+DE的值是先变小,再变大,说明当ADBCDEAC时,AD+DE的值不是最小值。那么到底点DBC的什么位置时,AD+DE才取最小值呢?

由于ADDE两条线段组成了一条折线,能否“化折为直”,转化为求两点间的最短路径?这让我们不由想到了“将军饮马”问题,其解决方法是:利用轴对称,找到AE两点其中一个点关于BC的对称点,假若点E关于BC的对称点为E’,连接AE’,与BC的交点即为点D

为了作点E关于BC的对称点,又因为点EAC上的动点,不妨作AC关于BC的对称图形,则点E’A’C上,而DEAC,由对称性可得,DE’A’C(如图3)。当A、D、E’三点共线时,AD+DE’取最小值,即AD+DE取最小值。

下面我们继续来计算AD+DE的最小值,如图4

因为RtABCRtEDC,不妨设DE=3yAD=x,则DE’=3y

又因为RtADERtACE’,根据相似三角形对应边成比例,有AD:AC=DE:E’C

而由对称性可知:EC=E’C,所以有x:6=3y: 6y,化简得x=3

RtAE’C中,AE’=3+3yAC=6CE’=CE=6y,又AE’2+CE’2=AC2,所以得,(3+3y)2+(6y)2=(6)2,解方程得,x1=-1(舍去),x2=7/9

所以AD+DE=x+3y=16/3



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